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分析法证明不等式(精选多篇)

时间:2024-12-16 05:36:56
分析法证明不等式(精选多篇)(全文共2269字)

第一篇:分析法证明不等式

分析法证明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|<=√2

【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由题设条件可知,

a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.

具体的,即是|a+b|>0

【2】

显然,由|a+b|>0可知

原不等式等价于不等式:

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

该不等式等价于不等式:

(|a|+|b|)²≤².

整理即是:

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下来就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a,b是非零向量,

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a²+b²>0.

推上去,可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法,两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pdf格式阅读原文。”

就是在其两边同时除以根号a+根号b,就可以了。

下面我给你介绍一些解不等式的方法

首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式,柯西不等式,还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)

然后要学会用一些函数的方法,这是解不等式最常见的方法。分析法,综合法,做减法,假设法等等这些事容易的。

在考试的时候方法最多的是用函数的方法做,关键是找到函数的定义域,还有求出它的导函数。找到他的最小值,最大值。

在结合要求的等等

一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法

这种方法最好,三部曲。你最好把它掌握好。

若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解:ab-3=a+b>=2根号ab

令t=根号ab,

t^2-2t-3>=0

t>=3ort<=-1(舍)

即,根号ab>=3,

故,ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。

第二篇:分析法证明不等式08

分析法证明不等式

教学目标:

1.掌握分析法证明不等式;

2.理解分析法实质——执果索因;

3.提高证明不等式证法灵活性.

教学重点:

分析法

教学难点:

分析法实质的理解

教学过程:

一.分析法:

证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法.

例1求证3?7?25 证明:因为?和2都是正数,所以为了证明??2 只需证明(3?7)2?(2)2

展开得10?221?20

即221?10,21?25

因为21?25成立,所以

(3?7)2?(2)2成立 即证明了??2

注意:①分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,它与

综合法是对立统一的两种方法.综合法是“由因导果”

②分析法论证“若a则b”这个命题的模式是:为了证明命题b为真,这只需要证明命题b1为真,从而有??

这只需要证明命题b2为真,从而又有??

这只需要证明命题a为真

而已知a为真,故b必真

例2证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,

ll设截面的周长为l,则周长为l的圆的半径为,截面积为t1()2;周2?2?

ll长为l的正方形边长为,截面积为()2.所以本题只需证明44

ll?()2?()2. 2?(本文来源WWW.)4

说明:对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。

二.课堂练习:

课本p16练习1,2,3

三.课堂小结

师:通过本节学习,要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式,并加深认识不等式证明方法的灵活性,能综合运用证明不等式的各种方法.

四.课后作业

p17 习题6.34,5,9

五.板书设计

第三篇:分析法证明不等式

主备人:审核: 包科领导:年级组长:使用时间:

4-5

【教学目标】

1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用分析法证明不等式。

【重点、难点】

重点:分析法证明不等式。

难点:分析法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标,自学课本内容,限时独立完成导学案;

2.红笔勾出疑难点,提交小组讨论;

1, 预习p17-p18,

【自主探究】

i. 分析法:从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为

止,这种证明方

法称为。 即“执果索因”的证明方法,即从“未知” 看

“”它

也是证明不等式的一种重要的基本方法。证明时一定要注意书写格式。

ii. 分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件,证

明的关键是推理每一步都

必须可逆,简言之,步步可逆。

证明的模式(步骤)以论证“若a则b”为例;欲证明b成立,

只需证明b1成立,从而又??

只需证明b2成立,从而又??

????

只需证明a为真,今已知a真,故b必真

可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件,可以简单写成

b?b1?b2?......?a

【合作探究】

证明下列不等式

(1) 求证 :

分析法证明不等式 ?2

(2)已知a>0, b>0且a>b

?

【巩固提高】

(1),已知a,b,x,y?r,且a2?b2?1,x2?y2?1,求证: ax?by?1

?(2),已知a,b ?r,a?b?1,求证:(a?)(b?)?1

a1b25 4

【能力提升】

已知 a,b ?r,2c?a?b,求证:

c?a?c?

本节小结:

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第四篇:2、综合法和分析法证明不等式

南化一中高三数学第一轮复习讲义55第六章《不等式》

§6.2综合法和分析法证明不等式

【复习目标】

1. 熟悉证明不等式的综合法、分析法,并能应用其证明不等式;

2. 理解分析法的实质是“执果索因”;注意用分析法证明不等式的表述格式;

3. 对于较复杂的不等式,能综合使用各种方法给予证明。

【重点难点】

综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确,因此我们经常用分析法寻找解题的思路,再用综合法表述。分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。

【课前预习】

1.“a>1”是“1?1”的() a

a. 充分但不必要条件b. 必要但不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条

2.

a?3)

3. 证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

4. 设a,b,c∈r+,则三个数a?1,b?1,c?1的值,则() bca

a. 都大于2b. 至少有一个不大于2c. 都小于2d. 至少有一个不小于2

【典型例题】

11??3? xy

abc???a??c.(2)设a,b,c都是正数,求证:ca例1(1)已知x,y?r,且2x?y?

1,求证:?

第55课:§6.2综合法和分析法证明不等式《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 例2已知a>0,b>0,2c>a+b. 求证:c-c2?ab<a<c+c2?ab.

例3若f(x)??x2,a≠b.求证f(a)?f(b)?a?b.

【巩固练习】

1. 设a?3?2,b??5,c?7?6, 则a,b,c大小顺序是

a.a>b>cb.b>c>ac.c>a>bd.a>c>b

2. 设0<a<b,a+b=1,在下列不等式中正确的是

a.b<2ab<a2?b2<a2+b2b.2ab<b<a2+b2<a2?b2

c.2ab<a2+b2<a2?b2<bd.2ab<a2+b2<b<a2?b2

3. a>b>1,p=lgalgb,q=1

2(lga?lgb),r=lg(a?b

2)

a.r<p<qb.p<q<rc.q<p<rd.p<r<q

【本课小结】

【课后作业】

1. 已知:a,b,c为正实数.求证:bc

a?acab

b?c?a?b?c.

11

2. 设x>0,y>0,证明:(x2?y2)2?(x3?y3)3.

3. 已知a>0,b>0,且a2+b2

2=1,求证:a?b2≤32

4.

4. 若x、y是正实数,x+y=1,求证:(1+11

x)(1+y)≥9.

- 2-()() ()

第五篇:综合法与分析法证明不等式(一)5

2014—2014学年度第二学期高二数学教案选修4-5不等式第5课时

28 江苏省郑梁梅高级中学高二数学教案(理)

主备人:冯龙云做题人: 顾华章审核人: 曾庆亚

不等式的证明—综合法和分析法(1)

一、教学目的:

1、 理解综合法和分析法证明不等式的原理与思维特点;

2、 掌握由学过的基本不等式来证明一些新的不等式。

二、教学重难点:

重难点:综合法和分析法证明不等式

三、教学方法:通过对比,体会两种方法的异同,感受不等式证明中思路、方法的多样性。

四、教学过程:

新课讲授:

综合法证题的思维过程:条件?结论

分析法证题的思维过程:结论?条件

例题讲解:

例1、已知a、b是正数,求证:

例2

例3、已知a、b、m均是正数,且a< b,求证:

ab?≥2 baa?ma> b+mb

例4、已知a 、b、c?r,求证:a?b?c≥ab?bc?ca

例5、已知a 、b、c、d?r,求证: a?b

例6、已知a 、b、c是正数,求证:a?b?c≥3abc并指出等号成立的条件

例7、已知a、b、c是不全相等的正数,且abc?1。求证:a?b?c?

五、课堂练习:

(1)xy?0,求证:xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx

28江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业(理)

班级姓名学号_______

1、设x?r下列式子正确的有

(1)、xg(l1)2xg)(l?

(3)、2?(2)、x2?12x?11(4)、?1x??2 x2?1x

a2?b2aba?b22、若a,b?r,且ab?0,则在①?ab②??2③ab??? 2ba2

a?b2a2?b2

④?这四个式子中,恒成立的个数是??22

3、已知a,b,c均大于1,且logac?logbc?4,则下列式子正确的是

(1)、ac?b(2)、ab?c(3)、bc?a(4)、ab?c

4、设m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?,比较大小:mn____xy

5、若x?3y-1?0,则2?8的最小值为___________

6、比较大小:lg9?lg11______1

三、简答题:

7、已知a,b,c?r。求证:

8、已知a,b?r且a?b。求证:

?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b

9、已知a、b、c是互不相等的实数。求证:

a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)

10、已知a,b,c?r,且abc?1。求证:(1?a)(1?b)(1?c)?8

11、已知a,b,c?r。求证:

12、已知a、b、c均是正数,且a?b?c?1。求证:(1?a)(1-b)(1-c)?8abc

13、已知a、b、c是不全相等的正数。

求证: a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc

222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc

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